Question

9．如圖，點D在△ABC的邊BC上，連接AD，在線段AD上任取一點E（點E不與點A、D重合）
（1）猜想：∠BEC與∠ABE、∠ACE、∠BAC有什么數(shù)量關系？并證明你的猜想
（2）若點E在AD所在的直線上移動，且點E不與點A、D重合，請畫圖探究∠BEC與∠ABE、∠ACE、∠BAC之間的數(shù)量關系，寫出關系式，并選擇一個加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BED=∠ABE+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，再根據(jù)∠BAD+∠CAD=∠BAC證明；
（2）分點E在BC的下方時，利用四邊形的內角和定理解答；點B在BC的上方時，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BAD=∠ABE+∠AEB，∠CAD=∠ACE+∠AEC，再根據(jù)∠AEB+∠AEC=∠BEC解答．

解答 （1）∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠BAC；
證明：由三角形的外角性質得，∠BED=∠ABE+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠ABE+∠BAD+∠ACE+∠CAD=∠ABE+∠ACE+∠BAC，
即：∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠BAC；

（2）解：如圖1，點E在BC的下方時，
由四邊形的內角和定理得，∠BEC+∠ABE+∠ACE+∠BAC=360°；
如圖2，點B在BC的上方時，
由三角形的內角和定理得，∠BAD=∠ABE+∠AEB，∠CAD=∠ACE+∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=∠BEC，
∴∠BAC=∠ABE+∠ACE+∠BEC．

點評 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，熟記性質是解題的關鍵，難點在于（2）分情況討論，作出圖形更形象直觀．