Question

16．觀察下列各式：
1×2×3×4+1=25=5²，
2×3×4×5+1=121=11²，
3×4×5×6+1=361=19²，
4×5×6×7+1=841=29²，
…
（1）猜想上面四個(gè)算式的規(guī)律，并用字母表示出第n個(gè)式子；
（2）證明你的猜想的正確性．

Answer 1

分析 （1）等式的左邊是連續(xù)四個(gè)正整數(shù)的乘積，再加上1，得數(shù)是這四個(gè)自然數(shù)兩端數(shù)的乘積加1的平方，據(jù)此列式表示即可；
（2）利用整式的乘法展開(kāi)即可．

解答 解：（1）n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²=（n²+3n+1）²；
（2）左面=n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n+1）（n+2）n（n+3）+1
=（n²+3n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²=右邊

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化的規(guī)律，注意算式之間的聯(lián)系，利用特殊推出一般性的結(jié)論，再加以證明結(jié)論的成立，是數(shù)學(xué)中常用的方法．