Question

16．如圖所示，已知△BAE和△CAF為等腰直角三角形．求證：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF．

Answer 1

分析 （1）要證EC=BF可轉化為證明△EAC≌△BAF，由已知可證AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，因為∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即可證∠EAC=∠BAF，符合SAS，即得證；
（2）由三角形求得得出∠AFB=∠ACE，然后根據三角形內角和定理和等量代換得出∠BMC=∠BAC+∠ABF+∠AFB，然后根據∠BAC+∠CAF+∠ABF+∠AFB=180°，∠CAF=90°，即可證得結論．

解答 證明：（1）∵△BAE和△CAF為等腰直角三角形．
∴AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△EAC與△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∥EAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF；
（2）∵△EAC≌△BAF，
∴∠AFB=∠ACE，
∵∠BMC=180°-（∠MBC+∠MCB）=180°-（∠ABC-∠ABF+∠ACB-∠ACE）=180°-（180°-∠BAC-∠ABF-∠AFB）=∠BAC+∠ABF+∠AFB，
∵∠BAC+∠CAF+∠ABF+∠AFB=180°，∠CAF=90°，
∴∠BAC+∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠BMC=90°，
∴EC⊥BF．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形內角和定理，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．