Question

9．如圖，已知正方形ABCD中，邊長為10cm，點(diǎn)E在AB邊上，BE=6cm．如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，
①CP的長為10-2tcm（用含t的代數(shù)式表示）；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過2秒后，△BPE與△CQP是否全等？請說明理由．
③若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，△BPE與△CQP能否全等，若能全等，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動速度，若不能全等，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得出BP=2tcm，即可得出CP的長；
（2）根據(jù)SAS可判定全等．
（3）由于點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，而運(yùn)動時間相同，得出BP≠CQ．又△BPE與△CQP全等，則有BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=5，CQ=BE=6，由BP=5求出運(yùn)動時間，再根據(jù)速度=路程÷時間，即可得出點(diǎn)Q的速度．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AB=10cm，∠B=∠C=90°，由題意得：BP=2tcm，∴CP=BC-BP=（10-2t）cm；故答案為：10-2t；
（2）△BPE與△CQP全等． 理由如下：
∵點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，且t=2秒，
∴BP=CQ=2×2=4cm，
∵AE=AB-BE=4cm
∴BE=CP=6cm，在△BPE和△CQP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=PC}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（3）能全等；理由如下：
∵點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE與△OQP全等，只要BP=PC=5cm，CQ=BE=6cm．
∴點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間t=$\frac{BP}{2}$=$\frac{5}{2}$（s），
此時點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為$\frac{CQ}{t}$=$\frac{12}{5}$（cm/s）．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題目，主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、動點(diǎn)問題等知識；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．