Question

3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點D在AB上，點E在AC上，分別過B、E作AC、BC的平行線，兩平行線交于點H．
（1）求證：四邊形BCEH為矩形；
（2）求$\frac{CD}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形BCEH是平行四邊形，再由∠ACB=90°，即可判定四邊形BCEH為矩形；
（2）連接DH，CH，由四邊形BCEH為矩形，得出HE=BC，再證明△ACD≌△EHD，得出CD=HD，∠CDH=90°，△CDH為等腰直角三角形，即可求出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵BC∥HE，BH∥AC，
∴四邊形BCEH是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形BCEH為矩形；
（2）解：連接DH，CH；如圖所示：
∵四邊形BCEH為矩形，
∴HE=BC，∠HEC=90°，CH=BE，
∴∠AEH=90°，
∴∠DEH=45°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴∠A=∠AED=∠ABC=45°，AD=DE，AC=BC，
∴AC=HE，∠A=∠DEH=45°，
在△ACD和△EHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}&{\;}\\{∠A=∠DEH}&{\;}\\{AC=HE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EHD（SAS），
∴CD=HD，∠ADC=∠EDH，
∴∠CDH=∠ADE=90°，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{CD}{CH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定；通過作輔助線證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．