Question

17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠DCB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，BC=6$\sqrt{3}$，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，連接GF，將線段GF繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段GE，GE交CD于點(diǎn)H，連結(jié)DE，且DE⊥DC，則HE的長(zhǎng)為$\frac{8\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥GC于N，連接DG、CG，通過(guò)解直角三角形求得∠AGD=30°，∠CGB=60°，∠CGD=90°，進(jìn)而求得∠EDG=150°=∠FCG，∠CGF=∠E，證得△DEG≌△CGF，得出DE=CG=2BG=12，CF=DG=4$\sqrt{3}$，即可求得CN=6，BF=10$\sqrt{3}$，GN=CG+CN=18，根據(jù)勾股定理求得FG=4$\sqrt{21}$，然后通過(guò)證得△DEH∽△NGF，得出$\frac{HE}{FG}$=$\frac{ED}{GN}$，即可求得HE的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥GC于N，連接DG、CG，
∴CM=BC-BM=BC-AD=4$\sqrt{3}$，
∵∠DCB=60°，
∴DM=$\sqrt{3}$CM=12，
∴AG=BG=6，
∵AD=2$\sqrt{3}$，BC=6$\sqrt{3}$，
∴tan∠AGD=$\frac{AD}{AG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠CGB=$\frac{BC}{BG}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AGD=30°，∠CGB=60°，
∴∠CGD=90°，∠CDG=60°，∠BCG=30°，
∴∠DGE+∠CGF=90°-∠EGF=30°，
∵∠EDG=∠CDG+∠EDH=150°=180°-∠BCG=∠FCG，
∴∠DGE+∠E=30°，
∴∠CGF=∠E，
在△DEG和△CGF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠FCG}\\{∠E=∠CGF}\\{GE=GF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△CGF（AAS），
∴DE=CG=2BG=12，CF=DG=4$\sqrt{3}$，
∴CN=CF•cos∠FCN=6，BF=BC+CF=10$\sqrt{3}$，
∴GN=CG+CN=18，
又FG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（10\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{21}$，
∵∠CGF=∠E，∠DHE=∠FNG=90°
∴△DEH∽△NGF，
∴$\frac{HE}{FG}$=$\frac{ED}{GN}$，即$\frac{HE}{4\sqrt{21}}$=$\frac{12}{18}$，
∴HE=$\frac{8\sqrt{21}}{3}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角函數(shù)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．