Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC上取一點D，AB上取一點E，使∠BDC=∠EDA，過點E作EF⊥BD垂足為N，并與BC交于點F．若CF=4，AD=$\frac{11}{2}$，則CD=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 過B作BH⊥BC交DE的延長線于H，則BH∥AC，推出△ADE∽△BHE，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BH}$，根據(jù)平行線的性質得到∠H=∠1，∠2=∠DBH，等量代換得到∠H=∠DBH，于是得到DH=BD，過D作DM⊥BH與M，根據(jù)等腰三角形的性質得到BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，設CD=x，則BH=2x，根據(jù)余角的性質得到∠2=∠3，推出△ADE∽△BFE，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：過B作BH⊥BC交DE的延長線于H，則BH∥AC，
∴△ADE∽△BHE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BH}$，
∵BH∥AC，
∴∠H=∠1，∠2=∠DBH，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠DBH，
∴DH=BD，
過D作DM⊥BH與M，
∴BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，設CD=x，則BH=2x，
∵EF⊥BD，
∴∠BNF=90°，
∴∠2+∠CBD=∠3+∠NBF，
∴∠2=∠3，
∵∠A=∠FBE=45°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BH}$，
∴BF=BH，即$\frac{11}{2}$+x-4=2x，
∴x=$\frac{3}{2}$．
∴CD=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．