Question

20．如圖1，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若M是拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)，N是拋物線的頂點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；
（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足S_△PAB=8的點(diǎn)P？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）結(jié)合拋物線的解析式得到點(diǎn)C、N的坐標(biāo)，利用B、C的坐標(biāo)可以求得直線BC的解析式，由一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（3）根據(jù)P點(diǎn)在拋物線上設(shè)出P點(diǎn)，然后再由S_△PAB=8，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，∵拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-b+c=0}\\{{3}^{2}+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，則C（0，-3）．
又∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴N（1，-4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3（k≠0）．
把B（3，0）代入，得
0=3k-3，
解得k=1，則該直線解析式為：y=x-3．
故當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，即M（1，-2），
∴MN=|-3|-|-2|=1．即MN=1；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意，得
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
當(dāng)y=4時(shí)，x²-2x-3=4，
∴x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-2x-3=-4，
∴x=1，
∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1+2$\sqrt{2}$，4）、（1-2$\sqrt{2}$，4）、（1，-4）時(shí)，S_△PAB=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題．
第（1）題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，比較簡(jiǎn)單；
第（2）題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線解析式的三種形式間的轉(zhuǎn)化；
第（2）題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)，把三角形面積公式同函數(shù)聯(lián)系起來，是一種比較常見的題型．