Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P．當(dāng)k=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 時(shí)，以⊙P與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？
（2）若點(diǎn)P在原點(diǎn)，試探討在以P為圓心，r為半徑的圓上，到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與r的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，⊙P與x軸的交于點(diǎn)C、D，利用等邊三角形的性質(zhì)得DE=PE=3，再由OP⊥DE得到OD=OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，于是可根據(jù)勾股定理計(jì)算出OP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，從而可得k=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）作OH⊥AB于H，如圖2，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A（-4，0），B（0，-8），則利用勾股定理可計(jì)算得AB=4$\sqrt{5}$，再利用面積法求出OH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，接著通過探討OH上到直線y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)，作圖：以O(shè)為圓心，以r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$為半徑作圓，交OH于E；以O(shè)為圓心，以r=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$為半徑作圓，交OH于F，得到點(diǎn)E和點(diǎn)F到直線y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$，然后利用圓的對(duì)稱性探討⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與r的關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1，⊙P與x軸的交于點(diǎn)C、D，△PCD為等邊三角形，則DE=PE=3，
∵OP⊥DE，
∴OD=OE=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴P（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
即k=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故答案為-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（2）作OH⊥AB于H，如圖2，
當(dāng)y=0時(shí)，-2x-8=0，解得x=-4，則A（-4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2x-8=-8，則B（0，-8），
∴OA=4，OB=8，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$OH•AB=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OH=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
以O(shè)為圓心，以r=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$為半徑作圓，交OH于E；以O(shè)為圓心，以r=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$+$\sqrt{5}$=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$為半徑作圓，交OH于F，
則點(diǎn)E和點(diǎn)F到直線y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)0＜r＜$\frac{3\sqrt{5}}{5}$時(shí)，⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；
當(dāng)r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$時(shí)，⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；
當(dāng)$\frac{3\sqrt{5}}{5}$＜r＜$\frac{13\sqrt{5}}{5}$時(shí)，⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)r=$\frac{13\sqrt{5}}{5}$時(shí)，⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；
當(dāng)r＞$\frac{13\sqrt{5}}{5}$時(shí)，⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系、圓的對(duì)稱性、等邊三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)從特殊位置出發(fā)分層探討⊙P上到直線l：y=-2x-8的距離為$\sqrt{5}$的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與r的關(guān)系．