Question

11．AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上不同于A，B的兩點，∠ABD=2∠BAC，連接CD，過點C作CE⊥DB，垂足為E，直徑AB與CE的延長線相交于F點．
（1）猜想CF與⊙O的位置關系，并證明你的猜想；
（2）當BD=9，sin∠F=$\frac{3}{5}$時，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC．先根據(jù)等邊對等角及三角形外角的性質得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據(jù)切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；
（2）連接AD．由圓周角定理得出∠D=90°，證出∠BAD=∠F，得出sin∠BAD=sin∠F=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求出AB=$\frac{5}{3}$BD=15，得出OB=OC=7.5，再求出OF=12.5，由勾股定理得出CF，再由平行線得出比例式$\frac{CE}{CF}=\frac{OB}{OF}$，即可求出CE的長．

解答 （1）解：CF為⊙O的切線；理由如下：
連接OC．如圖1所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC為⊙O的半徑，
∴CF為⊙O的切線；
（2）解：連接AD．如圖2所示：
∵AB是直徑，
∴∠D=90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD=∠F，
∴sin∠BAD=sin∠F=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{5}{3}$BD=15，
∴OB=OC=7.5，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴sin∠F=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{5}$，
解得：OF=12.5，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{C}^{2}}$=10，
∵OC∥DB，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{OB}{OF}$，
即$\frac{CE}{10}=\frac{7.5}{12.5}$，
解得：CE=6．

點評 本題考查了切線的判定、解直角三角形、勾股定理、平行線分線段成比例定理、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要運用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結果．