Question

12．（1）已知：在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點（如圖1）．
圖中共有5個等腰三角形，分別是△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC；EF與BE、CF之間的關(guān)系是EF=BE+CF．
（2）若將（1）中“△ABC，AB=AC”改為“若△ABC為不等邊三角形”，其余條件不變（如圖2），則圖中共有2個等腰三角形，分別是△BDE，△CFD；EF與BE，CF之間的關(guān)系是EF=BE+CF．
（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC的外角∠ACG，過D點作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則EF與BE、CF之間有何關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并加以證明
（4）已知：如圖4，點D在△ABC外，BD，CD分別平分△ABC的外角∠GBC和∠HCB，過點D作DE∥BC，分別交BG，CH于E，F(xiàn)兩點，則EF與BE，CF之間存在怎樣的關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根據(jù)等角對等邊可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根據(jù)等角對等邊可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代換即可證明BE、CF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（4）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根據(jù)等角對等邊可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可．

解答 解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，
∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，
∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5個，
∴BE+CF=DE+DF=EF，
即BE+CF=EF，
故答案為：5，△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC，BE+CF=EF．

（2）BE+CF=EF，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴等腰三角形有△BDE，△CFD，
∴BE+CF=DE+DF=EF，
即BE+CF=EF，
故答案為：△BDE，△CFD，BE+CF=EF；

（3）BE-CF=EF，
由（1）知BE=ED，
∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，
∴CF=DF，
又∵ED-DF=EF，
∴BE-CF=EF；

（4）BE+CF=EF，
∵BD平分∠EBC，CD平分∠ECB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴BE+CF=DE+DF=EF，
∴BE+CF=EF．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是推出DE=BE和CF=DF．