Question

13．如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)EF，給出下列判斷：①若△AEF是等邊三角形，則∠B=60°，②若∠B=60°，則△AEF是等邊三角形，③若AE=AF，則平行四邊形ABCD是菱形，④若平行四邊形ABCD是菱形，則AE=AF，其中，結(jié)論正確的是①③④（只需填寫正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①由等邊三角形的性質(zhì)得出∠EAF=60°，AE=AF，求出∠C=120°，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，得出∠B=180°-∠C=60°，①正確；
②由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠B=60°，求出∠BAE=∠DAF=30°，得出∠EAF=120°-30°-30°=60°，但是AE不一定等于AF，②錯(cuò)誤；
③由平行四邊形的面積得出$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，得出BC=CD，證出平行四邊形ABCD是菱形，③正確；
④由菱形的性質(zhì)得出BC=CD，由面積得出$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，得出AE=AF，④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵△AEF是等邊三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠C=120°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，
∴∠B=180°-∠C=60°，故①正確；

②∵∠D=∠B=60°，
∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
但是AE不一定等于AF，故②錯(cuò)誤；

③若AE=AF，則$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，
∴BC=CD，
∴平行四邊形ABCD是菱形，故③正確；

④若平行四邊形ABCD是菱形，
則BC=CD，
∴$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，
∴AE=AF，故④正確；
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形和菱形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．