Question

19．我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做等對角四邊形．請解決下列問題：

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是等對角四邊形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，則∠C=140°，∠D=75°
（2）在探究等對角四邊形性質(zhì)時：
小紅畫了一個如圖2所示的等對角四邊形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立，請你證明該結(jié)論；
（3）圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，線段AB、BC的端點均在網(wǎng)點上．按要求在圖①、圖②中以AB和BC為邊各畫一個等對角四邊形ABCD．
要求：四邊形ABCD的頂點D在格點上，所畫的兩個四邊形不全等．
（4）已知：在等對角四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對角線AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是“等對角四邊形”得出∠D=∠B=75°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出∠C即可；
（2）連接BD，根據(jù)等邊對等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；
（3）根據(jù)等對角四邊形的定義畫出圖形即可求解；
（4）分兩種情況：①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，先用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AE，得出DE，再用三角函數(shù)求出CD，由勾股定理求出AC；
②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性質(zhì)得出DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，求出CN、BC，根據(jù)勾股定理求出AC即可．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，
∴∠D=∠B=75°，
∴∠C=360°-75°-75°-70°=140°；

（2）證明：如圖2，連接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD；

（3）如圖所示：

（4）解：分兩種情況：
①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，如圖3所示：
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=10，
∴DE=AE-AD=10-4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時，
過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，如圖4所示：
則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴DM=2$\sqrt{3}$，
∴BM=AB-AM=5-2=3，
∵四邊形BNDM是矩形，
∴DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，
∵∠BCD=60°，
∴CN=$\sqrt{3}$，
∴BC=CN+BN=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
綜上所述：AC的長為2$\sqrt{7}$或2$\sqrt{13}$．
故答案為：140，75．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了新定義、四邊形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、矩形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（4）中，需要進行分類討論，通過作輔助線運用三角函數(shù)和勾股定理才能得出結(jié)果．