Question

20．如圖，△CDE中，∠CDE=135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求證：CE=$\sqrt{2}$AB．

Answer 1

分析 取CE的中點(diǎn)F，連接AF、BF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=EF=BF=CF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，從而判斷出△ABF是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，然后證明即可．

解答 證明：如圖，取CE的中點(diǎn)F，連接AF、BF，
∵CB⊥DE，EA⊥CD，
∴AF=EF=BF=CF=$\frac{1}{2}$CE，
在△CDE中，∵∠CDE=135°，
∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，
∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，
∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，
∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴CE=2AF=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$AB，
即CE=$\sqrt{2}$AB．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．