Question

3．我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．
（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下兩組勾股數(shù)：11、60，61； 13、84，85；
（2）若第一個數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含a的代數(shù)式分別表示為$\frac{{a}^{2}-1}{2}$和$\frac{{a}^{2}+1}{2}$，請用所學知識說明它們是一組勾股數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組一組勾股數(shù)：11，60，61，進而得出答案；
（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．

解答 解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴4=$\frac{{3}^{2}-1}{2}$，12=$\frac{{5}^{2}-1}{2}$，24=$\frac{{7}^{2}-1}{2}$…
∴11，60，61；13，84，85；        
故答案為：60，61；84，85；

（2）后兩個數(shù)表示為$\frac{{a}^{2}-1}{2}$和$\frac{{a}^{2}+1}{2}$，
∵a²+（$\frac{{a}^{2}-1}{2}$）²=a²+$\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}+1}{4}$=$\frac{{a}^{4}+2{a}^{2}+1}{4}$=$（\frac{{a}^{2}+1}{2}）^{2}$，
$（\frac{{a}^{2}+1}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{4}+2{a}^{2}+1}{4}$，
∴a²+（$\frac{{a}^{2}-1}{2}$）²=$（\frac{{a}^{2}+1}{2}）^{2}$，
又∵a≥3，且a為奇數(shù)，
∴由a，$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，$\frac{{a}^{2}+1}{2}$三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)．   
故答案為：$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，$\frac{{a}^{2}+1}{2}$．

點評 本題考查的是勾股數(shù)之間的關系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關系式進行猜想、證明即可．