Question

7．如圖，△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，A為公共直角頂點(diǎn)，過A作AF垂直CB交CB的延長線于F．
（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；
（2）求證：CE=2AF．

Answer 1

分析 （1）求出∠BAC=∠EAD，根據(jù)SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥CG，垂足為點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACE=∠AEC=45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB=∠AEC=45°，再推出∠ACB=∠ACE，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可得出答案．

解答 （1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠DAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADE+S_△ACD=S_△ACE=$\frac{1}{2}$×10×10=50；
（2）證明：過點(diǎn)A作AG⊥CG，垂足為點(diǎn)G，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
由△ABC≌△ADE得：
∠ACB=∠AEC=45°，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
∵AF⊥CB，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中．