Question

7．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE，∠EDG=∠AFD．
（1）如圖，當DE=DF時．證明AD=GE．
（2）在（1）的條件下，證明AB=BE．

Answer 1

分析 （1）由已知條件和平角的定義得到∠ADF=∠DEG，證得△ADF≌△DGE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，連結(jié)AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四點共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，則∠AEB=∠DEF=∠BAE，根據(jù)等角對等邊得出AB=BE；

解答 解：（1）∵∠ADF+∠DEC=180°，∠DEG+∠DEC=180°，
∴∠ADF=∠DEG，
在△ADF與△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠DEG}\\{DF=DE}\\{∠AFD=∠GDE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DGE，
∴AD=GE；

（2）如圖1，連結(jié)AE．
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵∠ADF+∠DEC=180°，
∴∠ADF=∠DEB．
∵∠AFE=∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE=180°，
∴A、D、E、F四點共圓，
∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．
∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，
∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，
∴AB=BE．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，連結(jié)AE，證明A、D、E、F四點共圓是解題的關(guān)鍵．