Question

4．已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．
（1）如圖1，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的長度；
（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ，求證：∠PBQ=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC；
（3）如圖3，若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到DC的延長線上，點(diǎn)P也運(yùn)動(dòng)到DA的延長線上時(shí)，仍然滿足PQ=AP+CQ，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明過程；若不成立，請(qǐng)寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用HL證得兩個(gè)直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，則其對(duì)應(yīng)邊相等：AD=DC=2；
（2）如圖2，延長DC，在上面找一點(diǎn)K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ的徐表格中求得∠PBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，結(jié)合已知條件“∠ABC+∠ADC=180°”可以推知∠PBQ=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC；
（3）（2）中結(jié)論不成立，應(yīng)該是：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
如圖3，在CD延長線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對(duì)應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．

解答 （1）解：如圖1，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL），
∴AD=DC=2，
∴DC=2；

（2）如圖2，延長DC，在上面找一點(diǎn)K，使得CK=AP，連接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∵∠BCD+∠BCK=180°，
∴∠BAD=∠BCK，
在△BPA和△BCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CK}\\{∠BAP=∠BCK}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BCK（SAS），
∴∠1=∠2，BP=BK．
∵PQ=AP+CQ，
∴PQ=QK，
∵在△PBQ和△BKQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BK}\\{BQ=BQ}\\{PQ=KQ}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS），
∴∠PBQ=∠KBQ，
∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ，
∴∠PBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-∠ADC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠PBQ=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC；

（3）（2）中結(jié)論不成立，應(yīng)該是：∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
如圖3，在CD延長線上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°．
∵∠BAD+∠PAB=180°，
∴∠PAB=∠BCK．
在△BPA和△BCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CK}\\{∠BAP=∠BCK}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BCK（SAS），
∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，
∴∠PBK=∠ABC．
∵PQ=AP+CQ，
∴PQ=QK，
在△PBQ和△BKQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BK}\\{BQ=BQ}\\{PQ=KQ}\end{array}\right.$，
∴△PBQ≌△BKQ（SSS），
∴∠PBQ=∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°，
∴2∠PBQ+（180°-∠ADC）=360°，
∴∠PBQ=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．