Question

6．如圖，正方形ABCD，AB=4，M為AB的中點(diǎn)，ED=3AE，
（1）求ME的長(zhǎng)；
（2）△EMC是直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）由已知可求得AM，AE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求出MN的長(zhǎng)，
（2）△EMC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得MC，EC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形EMC是直角三角形．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4．
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2．
∵ED=3AE，
∴AE=$\frac{1}{4}$AD，DE=$\frac{3}{4}$AD，
∴AE=1，DE=3．
∵在Rt△AME中，滿足AM²+AE²=ME²，且AM=2，AE=1，
∴ME=$\sqrt{5}$；
（2）△EMC是直角三角形，理由如下：
由（1）可得：MC=$\sqrt{20}$，EC=5．
∵M(jìn)E²+MC²=（$\sqrt{20}$）²+（$\sqrt{5}$）²=25，EC²=5²=25，
∴ME²+MC²=EC²．
∴△ENC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及勾股定理的逆定理運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟記勾股定理及其逆定理．