Question

17．如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC中BC∥OA，∠COP=∠BAO=60°，OC=AB=4，OA=7，點P為x軸上一個動點，點P不與點O、點A重合．連接CP，過點P作PD交AB于點D．
（1）求點BC長；
（2）當點P運動到什么位置時，△OCP是等腰三角形，求這時點P的坐標；
（3）當點P運動到什么位置時，使得∠CPD=∠OAB，且CP=PD，求這時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖，作CN⊥OA于N，BM⊥OA于M．首先證明Rt△OCN≌△Rt△ABM，推出ON=BM，再證明BC=MN，求出ON的值即可解決問題．
（2）分三種情形分別討論①OC=OP．②CO=CP．③PO=PC．分別求解即可．
（3）只要證明△COP≌△PAD，推出AP=OC=4，推出OP=3即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，作CN⊥OA于N，BM⊥OA于M．
∵BC∥OA，
∴CN=BM，∵CN∥BM，
∴四邊形CNMB是平行四邊形，
∴BC=MN，
在Rt△OCN和Rt△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AB}\\{CN=BM}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCN≌△Rt△ABM（HL），
∴ON=BM，
在Rt△OCN中，∵∠CNO=90°，OC=4，∠CON=60°，
∴∠OCN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴BC=MN=OA-2ON=7-4=3．

（2）①若點P在x負半軸上，OC=OP時，
∵∠COA=60°，
∴∠COP=120°，
∴△OCP為頂角120°的等腰三角形，
∴OP=OC=4，
∴P（-4，0），
若點P在x的正半軸上，OP=OC=4，P（4，0），
∴點P的坐標為（4，0）或（-4，0）．

②當OC=CP時，由題意可得C的橫坐標為：4×cos60°=2，
∴P點坐標為（4，0）．

③當OP=CP時，
∵∠COA=60°，∴△OPC是等邊三角形，同①可得出P（4，0）．
綜上可得點P的坐標為（4，0）或（-4，0）．

（3）∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OPC+∠DPA=120°，
又∵∠PDA+∠DPA=120°，
∴∠OPC=∠PDA，
∵∠COP=∠A=60°CP=PD，
∴△COP≌△PAD，
∴AP=OC=4，
∴OP=3，
∴P點坐標為（3，0）．

點評 本題考查四邊形綜合題、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．