Question

13．已知點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線（第一象限圖象）只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是（　�。�

• A． 6
• B． 12
• C． 18
• D． 24

Answer 1

分析 設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，可得A點(diǎn)坐標(biāo)（a，$\frac{6}{a}$），再設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l的解析式為y=bx+c，根據(jù)條件“過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線（第一象限圖象）只有一個(gè)交點(diǎn)”，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式，得到方程bx+$\frac{6}{a}$-ab=$\frac{6}{x}$，即bx²+（$\frac{6}{a}$-ab）x-6=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，那么b=-$\frac{6}{{a}^{2}}$，c=$\frac{12}{a}$，即直線l的解析式為y=-$\frac{6}{{a}^{2}}$x+$\frac{12}{a}$．再求出直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求解即可．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，$\frac{6}{a}$），其中a＞0．過(guò)點(diǎn)A的直線l的解析式為y=bx+c，
則ab+c=$\frac{6}{a}$，即c=$\frac{6}{a}$-ab，那么y=bx+$\frac{6}{a}$-ab．
∵直線y=bx+$\frac{6}{a}$-ab與雙曲線y=$\frac{6}{x}$只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程bx+$\frac{6}{a}$-ab=$\frac{6}{x}$，即bx²+（$\frac{6}{a}$-ab）x-6=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴（$\frac{6}{a}$-ab）²+24b=（$\frac{6}{a}$+ab）²=0．
∴$\frac{6}{a}$=-ab．
∴b=-$\frac{6}{{a}^{2}}$，c=$\frac{12}{a}$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{6}{{a}^{2}}$x+$\frac{12}{a}$．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{12}{a}$；當(dāng)y=0時(shí)，x=2a；
∴該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{a}$×2a=12．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根的判別式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，有一定難度．設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，用含a的式子表示過(guò)點(diǎn)A的直線l的解析式是解題的關(guān)鍵．