Question

2．如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，t），AB∥x軸，矩形A′B′C′D′與矩形ABCD是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，點(diǎn)A′，B′分別是點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)，$\frac{A′B′}{AB}$=k．已知關(guān)于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=2n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是實(shí)數(shù)）無解，在以m，n為坐標(biāo)（記為（m，n））的所有的點(diǎn)中，若有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上，則k•t的值等于（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 首先求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（k，kt），再根據(jù)關(guān)于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=2n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是實(shí)數(shù)）無解，可得mn=3，且n≠$\frac{3}{2}$；然后根據(jù)以m，n為坐標(biāo)（記為（m，n））的所有的點(diǎn)中，有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上，可得反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象只經(jīng)過點(diǎn)A′或C′；最后判斷出反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象經(jīng)過C′點(diǎn)，則
A′點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，$\frac{3}{2}$），所以k•t=，據(jù)此解答即可．

解答 解：∵矩形A′B′C′D′與矩形ABCD是位似圖形，$\frac{A′B′}{AB}$=k，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，t），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（k，kt），
∵矩形A′B′C′D′與矩形ABCD是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，
∴矩形A′B′C′D′也關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱．
∵關(guān)于x，y的二元一次方程$\left\{\begin{array}{l}{mnx+y=2n+1}\\{3x+y=4}\end{array}\right.$（m，n是實(shí)數(shù)）無解，
∴mn=3，且n≠$\frac{3}{2}$，
即n=$\frac{3}{m}$（m≠2），
∵以m，n為坐標(biāo)（記為（m，n）的所有的點(diǎn)中，有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上，
∴反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象只經(jīng)過點(diǎn)A′或C′，
∵矩形A′B′C′D′關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，
∴反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象經(jīng)過C′點(diǎn)，
如果反比例函數(shù)n=$\frac{3}{m}$的圖象不經(jīng)過C′點(diǎn)，
則以m，n為坐標(biāo)（記為（m，n））的所有的點(diǎn)中，如果有點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上，
則至少有兩個(gè)點(diǎn)落在矩形A′B′C′D′的邊上，
∴A′點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，$\frac{3}{2}$），
∴k•t=$\frac{3}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了位似變換問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)；③對應(yīng)邊平行．
（2）此題還考查了二元一次方程組的求解方法，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，要熟練掌握．