Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y═$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1），B（2，0）P（t，0）是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA的垂線交△PAB的外接圓于點(diǎn)C，△PAB的外接圓與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線在第一象限限交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PAB的外接圓的圓心落在y軸上時(shí)，求該圓的半徑；
（3）用含t的式子表示C、D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得b、c的值，可求得拋物線的解析式；
（2）由條件可知PA=PB，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由勾股定理可求得半徑；
（3）可先證明△AOB∽△APC，可求得$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，過(guò)P作y軸的平行線，分別過(guò)A、C作其垂線，垂足分別為G、F，則AG=-t，GP=1，可用t表示出PF、CF，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，又結(jié)合條件可證明∠CDA=90°，可表示出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（0，-1），B（2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-1=c}\\{0=2+2b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）當(dāng)△PAB的外接圓的圓心落在y軸上時(shí)，AP=AB，此時(shí)P（-2，0），
設(shè)圓的半徑為r，則（r-1）²+2²=r²，
解得r=2.5；
（3）∵∠ACP=∠ABP，且∠AOB=90°=∠APC，
∴△AOB∽△APC，
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{PC}{OB}$，即$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠APC=90°，
∴∠APG+∠CPF=∠CPF+∠PCF=90°，
∴∠APG=∠PCF，且∠AGP=∠CFP，
∴△APG∽△PCF，
∴$\frac{AG}{PF}$=$\frac{PG}{CF}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
如圖，過(guò)P作y軸的平行線，分別過(guò)A、C作其垂線，垂足分別為G、F，則AG=-t，GP=1，

∴PF=-2t，CF=2，
∴C（2+t，-2t），
連接CD，
∵∠APC=90°，
∴AC為直徑，
∴∠CDA=90°，
∴D（0，-2t）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法應(yīng)用的步驟，在（2）中注意垂徑定理的應(yīng)用，在（3）中，注意圓周角定理的應(yīng)用．本題考查知識(shí)較為基礎(chǔ)，難度不大．