Question

18．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象和x軸有兩個交點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），B（-3，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3）且對稱軸是直線x=-1；
（1）求該二次函數(shù)的解析表達(dá)式；
（2）在給定的坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)草圖；
（3）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由拋物線的對稱性求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象即可；
（3）如圖2所示，過點(diǎn)E作ED⊥AB，垂足為點(diǎn)D，列出四邊形的面積與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得最大值以及點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=-1，點(diǎn)B的坐標(biāo)（-3，0），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-3a=3，
解得；a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）二次函數(shù)的圖象如圖1所示：

（3）如圖2所示，過點(diǎn)E作ED⊥AB，垂足為點(diǎn)D．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3）．
則四邊形的BOCE的面積=△BED的面積+梯形EDOC的面積
=$\frac{1}{2}（x+3）（-{x}^{2}-2x+3）$+$\frac{1}{2}×（-{x}^{2}-2x+3+3）×（-x）$
=$-\frac{3}{2}（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{63}{8}$．
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形的面積有最大值，最大值面積為$\frac{63}{8}$．
將x=-$\frac{3}{2}$代入y=-x²-2x+3得；y=$\frac{15}{4}$．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$-\frac{3}{2}，\frac{15}{4}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析，配方法求得二次函數(shù)的最值，列出四邊形的面積與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．