Question

1．如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，⊙O是△ABC的外接圓，射線BO交AC于E點(diǎn)．交⊙O于D點(diǎn)，P是射線BD上一點(diǎn)，且CP=CB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$時，求證：PC=PE．

Answer 1

分析 （1）連接OC，可得∠BOC=120°，所以∠OBC=∠OCB=30°，可得∠P=∠OBC=30°，∠DOC=60°，從而求得∠PCO=90°，即可證明；
（2）連接CD，根據(jù)圓周角定理求得∠BCD=90°，根據(jù)$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，得出∠ACB=∠ACD=45°，可得∠PCE=75°，進(jìn)而求得∠PEC=∠PCE=75°，即可證明．

解答 （1）證明：連接CO，
∵∠A=60°
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（2）連接CD，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠PCD=∠PBC=30°，
∴∠PCE=∠ACD+∠PCD=75°，
∵∠P=30°，
∴∠PEC=75°，
∴∠PEC=∠PCE=75°，
∴PC=PE．

點(diǎn)評 本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定，綜合性比較強(qiáng)，熟記定理及性質(zhì)，才是解答的關(guān)鍵．