Question

17．如圖，以⊙O的弦AB為邊向圓外作正方形ABCD，分別過點(diǎn)D、C作⊙O的切線DM、CN，切點(diǎn)分別為M、N．
（1）求證：DM=CN；
（2）若AB=2，DM=2$\sqrt{2}$，求⊙的半徑．

Answer 1

分析 （1）先連接OA、OB，OM，ON，OD，OC，根據(jù)OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，再根據(jù)ABCD是正方形，得出∠DAB=∠ABC=90°，從而證出△OAD≌△OBC中，即可而得出OC=OD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）先作OH⊥AB垂足為H，延長(zhǎng)OH交DC于點(diǎn)G，設(shè)半徑為r，根據(jù)AB=2，得出AH=HB=1，根據(jù)勾股定理得出OH²+1²=r²，r²+DM²=OD²，（OH+2）²+1²=OD²，求出OH的長(zhǎng)，即可得出⊙O的半徑．

解答 解：（1）如圖1，連接OA、OB，OM，ON，OD，OC，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠OAD=∠OBC，
在△OAD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAD=∠OBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD=OC，
在Rt△MDO與Rt△NCO中，$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MDO≌Rt△NCO，
∴DM=CN；

（2）如圖2，作OH⊥AB垂足為H，延長(zhǎng)OH交DC于點(diǎn)G，
設(shè)半徑為r，則
∵AB=2，
∴AH=HB=1，
∴OH²+1²=r²，
∵DM切⊙O于M，
∴∠OMD=90°，
∴r²+DM²=OD²，
在△ODG中，
∵OG²+DG²=OD²，
∴（OH+HG）²+AH²=OD²，
∴（OH+2）²+1²=OD²，
解得：OH=1，
∴r=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．