Question

3．已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 先利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），（2，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+4）（x-2），然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可．

解答 解：∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，
∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
把（-1，4）代入得a•3•（-3）=4，解得a=-$\frac{4}{9}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{9}$（x+4）（x-2），即y=-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{9}$x+$\frac{32}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．