Question

1．（1）如圖1，線段AB的長為4，請你作出一個以AB為斜邊且面積最大的直角三角形ABC．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，請你求出四邊形ABCD的面積．
問題解決：
（3）小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這種材料板的形狀如圖3所示，并且滿足在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，DB=4，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑畫⊙O，再由底邊AB一定時，高最大時，直角三角形ABC的面積最大，確定點C的位置；
（2）作輔助線，將四邊形ABCD分成等邊三角形和鈍角三角形，利用面積和求四邊形ABCD的面積即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，構(gòu)建等邊△BHD，利用求△ABH面積的最大值，來確定四邊形ABCD面積的最小值，△ABH面積的最大值利用（1）的結(jié)論，作輔助圓可得出，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，

畫法：以AB為直徑畫圓O，當點C位于半圓的中點時，直角△ABC的面積最大；

（2）如圖2，連接AC，過C作CH⊥AB，交AB的延長線于H，
在Rt△BCH中，∵BC=2，∠CBH=180°-120°=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，HC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AH=AB+BH=4+1=5，
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=5²+（$\sqrt{3}$）²=28，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴S_△ADC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×28=7$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S△_ACD=2$\sqrt{3}$+7$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；

（3）能，
如圖3，連接AC，
∵AD=CD，∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
將△BDC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得△HDA，連接BH，
則BD=DH=4，∠HDB=60°，
∴△HDB是等邊三角形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD
=S_△BDH-S_△ABH，
∵BD=4，是定值，
∴S_△BDH是定值，
∴當△ABH的面積最大時，四邊形ABCD的面積最小，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-75°-60°=225°，
∴∠BAH=360°-∠BAD-∠HAD=360°-225°=135°，
∵BH=BD=4，
∴點A在定圓⊙O（△ABH的外接圓）上運動，當O、A、D共線時，△ABH的面積最大，此時，OD⊥BH，
設OA交BH于K，則HK=KB=2，
∵AH=AB，
∴∠AHB=∠ABH=22.5°，
在HK上取一點F，使FH=AF，則△AKF是等腰直角三角形，
設AK=FK=x，則AF=FH=$\sqrt{2}$x，
∴2=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴△ABH面積的最大值=$\frac{1}{2}$×4×$（2\sqrt{2}-2）$=4$\sqrt{2}$-4，
∴四邊形ABCD的面積的最小值=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-（4$\sqrt{2}$-4）=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+4．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，四邊形和三角形面積的求法、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和面積公式：S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×邊長的平方，第三問有難度，作出輔助線是關鍵，借助于△ABH面積的最大值來確定四邊形面積的最小值，是一個難得的幾何壓軸題．