Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，2），B（3，0）．若反比例函數(shù)y=-$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，設(shè)直線EF的解析式為y=k₂x+b．
（1）求反比例函數(shù)與直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）先利用矩形的性質(zhì)確定C點(diǎn)坐標(biāo)（3，2），再確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，1），則根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k₁=3，即反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$；然后利用反比例函數(shù)解析式確定F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$\frac{1}{2}$），E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，2），再利用待定系數(shù)法求直線EF的解析式；
（2）利用△OEF的面積=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF進(jìn)行計(jì)算；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)$\frac{3}{4}$＜x＜3時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方，即k₂x+b＞$\frac{{k}_{1}}{x}$．

解答 解：（1）∵四邊形DOBC是矩形，且D（0，2），B（3，0），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），
∵點(diǎn)A為線段OC的中點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，1），
∴k₁=$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{2}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{2x}$；
把x=3代入y=$\frac{3}{2x}$，得y=$\frac{1}{2}$，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$\frac{1}{2}$）；
把y=2代入y=$\frac{3}{2x}$得x=$\frac{3}{4}$，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，2），
把F（3，$\frac{1}{2}$）、E（$\frac{3}{4}$，2）代入y=k₂x+b得$\left\{\begin{array}{l}{3{k}_{2}+b=\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{4}{k}_{2}+b=2}\end{array}\right.$，解得--$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）△OEF的面積=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF
=2×3-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{4}$）×（2-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{45}{16}$；

（3）由圖象得：不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＞0的解集為$\frac{3}{4}$＜x＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式．