Question

6．對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．
（1）分別判斷函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）和y=2x-3（x＜2）是不是有上界函數(shù)？如果是有上界函數(shù)，求其上確界；
（2）如果函數(shù)y=-x+2（a≤x≤b，b＞a）的上確界是b，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過(guò)2a+1，求a的取值范圍；
（3）如果函數(shù)y=x²-2ax+2（1≤x≤5）是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有界函數(shù)函數(shù)的定義和上確界定義分析即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的上確界和函數(shù)增減性得到2-a=b，函數(shù)的最小值為2-b，根據(jù)b＞a，函數(shù)的最小值不超過(guò)2a+1，列不等式求解集即可；
（3）根據(jù)對(duì)稱軸方程x=a和上確界為3，分類(lèi)討論a≤3時(shí)和a＞3時(shí)，列方程求解．

解答 解：（1）根據(jù)有界函數(shù)定義，y=$\frac{1}{x}$（x＜0）不是有上界函數(shù)；y=2x-3（x＜2）是有上界函數(shù)，上確界是1；
（2）∵在y=-x+2中，y隨x的增大而減小，
∴上確界為2-a，即2-a=b，
又b＞a，所以2-a＞a，解得a＜1，
∵函數(shù)的最小值是2-b，∴2-b≤2a+1，得a≤2a+1，解得a≥-1，
綜上所述：-1≤a＜1；
（3）函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，
①當(dāng)a≤3時(shí)，函數(shù)的上確界是25-10a+2=27-10a，
∴27-10a=3，解得a=$\frac{12}{5}$，符合題意；
②當(dāng)a＞3時(shí)，函數(shù)的上確界是1-2a+2=3-2a，
∴3-2a=3，解得a=0，不符合題意．
綜上所述：a=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)定義函數(shù)的理解和一次函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降；能夠正確理解有界函數(shù)和上確界是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．