Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，以A為一個頂點的等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，繞點A在∠BAC內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AD、AE所在的直線與BC邊分別交于點F、G，若點B關(guān)于直線AD的對稱點為B′，當∠CFB′=60°時，則BF的長為$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 把△ACG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG′，連結(jié)FG′、AB′，如圖，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=45°，∠1=∠BAG′，所以∠FBG′=90°，再證明△AFG≌△AFG′得到FG=FG′，接著利用對稱性質(zhì)得FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，易得∠1=∠4，AC=AB′，則可判斷△AB′G與△ACG關(guān)于AG對稱，得到GB′=GC，則GB′=BG′，解直角三角形得到關(guān)于BF的方程，然后解關(guān)于BF的方程即可．

解答 解：把△ACG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG′，連結(jié)FG′、AB′，如圖，則BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=45°，∠1=∠BAG′，
∴∠FBG′=90°，
∵∠FAG=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠FAG′=45°，
在△AFG和△AFG′中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG′}\\{∠FAG=∠FAG′}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFG′，
∴FG=FG′，
∵點B關(guān)于直線AD的對稱點為B′，
∴FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，
而∠3+∠4=45°，∠1+∠2=45°，
∴∠1=∠4，
而AC=AB=AB′，
∴△AB′G與△ACG關(guān)于AG對稱，
∴GB′=GC，
∴GB′=BG′，
在△FB′G和△FBG′中，$\left\{\begin{array}{l}{FB′=FB}\\{FG=FG′}\\{B′G=BG′}\end{array}\right.$，
∴△FB′G≌△FBG′，
∴∠GFB′=∠BFG′=60°，∠FB′G=∠FBG′=90°，
在Rt△BFG′中，∵∠FBG′=60°，
∴BG′=$\sqrt{3}$BF，F(xiàn)G′=2BF，
∴CG=$\sqrt{3}$BF，F(xiàn)G=2BF，
∴BF+$\sqrt{3}$BF+2BF=BC=4 $\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和對稱的性質(zhì)．