Question

7．已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂）兩點(diǎn)，直線y=$\sqrt{3}$x+m經(jīng)過點(diǎn)A．若關(guān)于x的方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a（x₁-x₂）=$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 直線y=$\sqrt{3}$x+m經(jīng)過點(diǎn)A（x₁，0），可得x₁=-$\frac{m}{\sqrt{3}}$，由x₁是方程ax²+bx+c=0的根，也是方程$\sqrt{3}$x+m=0的根，推出x₁是方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0的根，由關(guān)于x的方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，推出方程可以變形為a（x+$\frac{m}{\sqrt{3}}$）²=0，展開得到ax²+$\frac{2am}{\sqrt{3}}$x+$\frac{a{m}^{2}}{3}$=0，推出b=$\frac{2am}{\sqrt{3}}$-$\sqrt{3}$，c=$\frac{a{m}^{2}}{3}$-m，推出a（x₁-x₂）=±$\sqrt{{a}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=±$\sqrt{^{2}-4ac}$，代入計(jì)算即可．

解答 解：直線y=$\sqrt{3}$x+m經(jīng)過點(diǎn)A（x₁，0），
∴x₁=-$\frac{m}{\sqrt{3}}$，
∵x₁是方程ax²+bx+c=0的根，也是方程$\sqrt{3}$x+m=0的根，
∴x₁是方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0的根，
∵關(guān)于x的方程ax²+（b+$\sqrt{3}$）x+c+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴方程可以變形為a（x+$\frac{m}{\sqrt{3}}$）²=0，展開得到ax²+$\frac{2am}{\sqrt{3}}$x+$\frac{a{m}^{2}}{3}$=0，
∴b=$\frac{2am}{\sqrt{3}}$-$\sqrt{3}$，c=$\frac{a{m}^{2}}{3}$-m，
∵a（x₁-x₂）=±$\sqrt{{a}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=±$\sqrt{^{2}-4ac}$=±$\sqrt{（\frac{2am}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}）^{2}-4a•（\frac{a{m}^{2}}{3}-m）}$=±$\sqrt{3}$，
故答案為±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、根的判別式、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．