Question

10．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)，連接AF、EF，EF與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)O．若AE=AF=CF=12，∠AEF=2∠ADB，則矩形ABCD的面積為108$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接AC、EC．首先證明AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，由△ECD≌△ECO，推出DC=OC=OA，推出AC=2CD，推出∠DAC=30°，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：連接AC、EC．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴DE∥BF，AD=BC，
∴∠EDO=∠OBF，∵AE=CF，
∴DE=BF，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD≌△FOB，
∴OB=OD，
∴AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，
∵∠AEF=2∠ADB，∠AEF=∠EDO+∠EOD，
∴∠EDO=∠EOD，
∴ED=EO，同理可知OF=BF，
∵AE=AF，
∴AC⊥EF，
∴∠EOF=∠EDC=90°，
∵EC=EC，EO=ED，
∴△ECD≌△ECO，
∴DC=OC=OA，
∴AC=2CD，
∴∠DAC=30°，
∵EF⊥AC，OC=OA，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠DEC=60°，
∴∠ECD=30°，
在Rt△EDC中，∵EC=AE=12，∠ECD=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$EC=6，CD=$\sqrt{3}$DE=6$\sqrt{3}$，
∴AD=18，
∴S_矩形ABCD=18×$6\sqrt{3}$=108$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)．勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．