Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE，垂足為G，連結(jié)FG．若FG=$\sqrt{2}$，∠E=30°，則GE=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 作DH∥AC交BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠ACB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BHD=∠ACB，則∠B=∠BHD，所以DB=DH，加上DB=CE，所以DH=CE，于是可根據(jù)“AAS”可證明△DHF≌△ECF，得到DF=EF，則GF為斜邊DE上的中線，所以DE=2GF=2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可求出GE．

解答 解：作DH∥AC交BC于H，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DH∥AC，
∴∠BHD=∠ACB，∠E=∠EDH，
∴∠B=∠BHD，
∴DB=DH，
而DB=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFH=∠EFC}\\{∠FDH=∠E}\\{DH=EC}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△ECF，
∴DF=EF，
∵DG⊥AC，
∴∠DGE=90°，
∵GF為斜邊DE上的中線，
∴DE=2GF=2$\sqrt{2}$，
而∠E=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{2}$，
∴GE=$\sqrt{3}$DG=$\sqrt{6}$．
故答案為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．