Question

16．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點B作直線EF，AB為非直徑的弦，且EF是⊙O的切線
（1）求證：∠CBF=∠A；
（2）若∠A=30°，BC=2，連接OC并延長交EF于點M，求由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BO并延長交⊙O于H，連結(jié)HC，則∠H=∠A．由HB是直徑，根據(jù)圓周角定理得出∠HCB=90°，則∠H+∠CBH=90°．再根據(jù)切線的性質(zhì)得出HB⊥EF，則∠CBF+∠CBH=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠H=∠CBF，等量代換即可得到∠A=∠CBF；
（2）先解Rt△HCB，得出HB=4，OB=2．由∠BOM=2∠A=60°，得出BM=OB×tan60°=2$\sqrt{3}$．再根據(jù)S=S_△OBM-S_扇形OBC，代入數(shù)據(jù)計算即可求解．

解答 （1）證明：連結(jié)BO并延長交⊙O于H，連結(jié)HC，則∠H=∠A．
∵HB是直徑，
∴∠HCB=90°，
∴∠H+∠CBH=90°．
又∵OB是半徑，EF是⊙O的切線，
∴HB⊥EF，
∴∠CBF+∠CBH=90°，
∴∠H=∠CBF，
∴∠A=∠CBF；

（2）解：∵在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，
∴HB=4，OB=2．
∵∠BOM=2∠A=60°，
∴BM=OB×tan60°=2$\sqrt{3}$．
S=S_△OBM-S_扇形OBC=$\frac{1}{2}OB•BM-\frac{{60π×{2^2}}}{360}$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$=$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$，
故由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積為$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，余角的性質(zhì)，扇形面積的計算，準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．