Question

1．如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB=4cm，BC=6cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．實(shí)施操作：將紙片沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在梯形AECD內(nèi)，記為點(diǎn)B′．
（1）用尺規(guī)在圖中作出△AEB′（保留作圖痕跡）；
（2）求B′、C兩點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）分別以A、E為圓心，AB、EB為半徑作弧，交點(diǎn)為B′，再連接AB′、EB′即可；
（2）連接BB′，交AE于點(diǎn)F，連接B′C；由折疊的性質(zhì)得出BF=B′F，證出EF為△BCB′的中位線，得出EF=$\frac{1}{2}$B′C，由勾股定理求出AE、得出cos∠BEF，在Rt△BEF中，由三角函數(shù)求出EF，即可得出B′C的長(zhǎng)．

解答 解：（1）作法：①分別以A、E為圓心，AB、EB為半徑作弧，交點(diǎn)為B′，
②連接AB′、EB′，得△AEB′；
如圖1所示：
（2）連接BB′交AE于點(diǎn)F，連接B′C；
如圖2所示：
由折疊的性質(zhì)得：BF=B′F，
即F為BB′的中點(diǎn)，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EF為△BCB′的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$B′C，
在Rt△ABE中，AB=4cm，BE=3cm，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=5cm，cos∠BEF=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BEF中，EF=BE×cos∠BEF=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$cm，
∴B′C=2EF=$\frac{18}{5}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行作圖與推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．