Question

15．已知關(guān)于x的方程x²-2ax+a-1=0；
（1）求證：方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）當(dāng)a取何值時(shí)，方程的兩根都是正數(shù)？

Answer 1

分析 （1）求出△=（-2a）²-4×1×（a-1）=4a²-4a+4=（2a-1）²+3＞0，再根據(jù)根的判別式判斷即可；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x₂=2a，x₁•x₂=a-1，根據(jù)題意得出2a＞0且a-1＞0，求出解集即可．

解答 （1）證明：△=（-2a）²-4×1×（a-1）=4a²-4a+4=（2a-1）²+3，
∵不論a為何值，（2a-1）²+3＞0，
∴△＞0，
所以方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=2a，x₁•x₂=a-1，
∵方程的兩根都是正數(shù)，
∴2a＞0且a-1＞0，
解得：a＞1，
當(dāng)a＞1時(shí)，方程的兩根都是正數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解不等式組，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能熟記根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．