Question

4．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，AD=12，BD=16，AB=20，CD=9．
（1）試說(shuō)明AD⊥BC．
（2）求AC的長(zhǎng)及△ABC的面積．
（2）判斷△ABC是否是直角三角形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件推知AD²+BD²=AB²，然后利用勾股定理的逆定理推得結(jié)論；
（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度，由三角形的面積公式來(lái)求三角形ABC的面積即可；
（3）利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明．

解答 解：（1）∵AD²+BD²=12²+16²=400，AB²=20²=400，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°即AD⊥BC；
                                    
（2）∵∠ADB=90°，且點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，
∴∠ADC=90°，
∴由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=15，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×205×12=150；

（3）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC²+AB²=13²+20²=625，BC²=25²=625，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．