Question

13．如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于點O，D在⊙O上，連接BD、CD，延長CD與AB的延長線交于E，F(xiàn)在BE上，且FD=FE．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）若AF=10，tan∠BDF=$\frac{1}{4}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到FD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)AD，如圖，利用圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根據(jù)相似的性質(zhì)得$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$，再在Rt△ABD中，根據(jù)正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{4}$，于是可計算出DF=2.5，從而得到EF=2.5．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵CO⊥AB，
∴∠E+∠C=90°，
∵FE=FD，OD=OC，
∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，
∴∠FDE+∠ODC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠A+∠ODB=90°，
∵∠BDF+∠ODB=90°，
∴∠A=∠BDF，
而∠DFB=∠AFD，
∴△FBD∽△FDA，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BD}{AD}$，
在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DF}{10}$=$\frac{1}{4}$，
∴DF=2.5，
∴EF=2.5．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．