Question

18．如圖，AB為⊙O的直徑，AC、AD為⊙O的弦，AB平分∠CAD．
（1）如圖1，求證：AC=AD；
（2）如圖2，弦BE交AC于點F，點G在AD上，F(xiàn)G=FE，F(xiàn)A平分∠EFG，連接BC，求證：∠CBE=2∠BAD；
（3）在（2）的條件下，如圖3，F(xiàn)G交AB于H，若FC=2AF，BC=$\frac{5}{4}$，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）利用已知以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAO=∠DAO，進而得出∠AOC=∠AOD，即可得出答案；
（2）首先得出△EFA≌△GFA（SAS），進而得出∠EAF=∠FAG，再得出∠CBE=∠FAG=2∠BAD，即可得出答案；
（3）首先得出△FBC≌△TBC（ASA），進而得出FC=TC，求出AC的長，即可得出AB的長，再得出BH=$\frac{4}{5}$AB，求出答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接CO，DO，
∵∠COB=2∠CAO，∠BOD=2∠DAO，
∠CAO=∠DAO，
∴∠BOC=∠BOD，
∵∠AOC=180°-∠BOC，∠AOD=180°-∠BOD，
∴∠AOC=∠AOD，
∴AC=AD；

（2）證明：如圖2，連接EA，
在△EFA和△GFA中
∵$\left\{\begin{array}{l}{FA=FA}\\{∠EFA=∠GFA}\\{FG=FE}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△GFA（SAS），
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠EAF=∠CBE，
∴∠CBE=∠FAG=2∠BAD，
即∠CBE=2∠BAD；

（3）解：如圖3，連接DB并延長交AC的延長線于點T，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠CBD+∠CAD=180°，∠CBT+∠CBD=180°，
∴∠CBT=∠CAD=∠CBE，
∵∠BCT=180°-∠BCF=90°，
∴∠BCT=∠BCF，
在△FBC和△TBC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCB=∠BCT}\\{BC=BC}\\{∠CBF=∠CBT}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△TBC（ASA），
∴FC=TC，
設(shè)AF=k，則FC=CT=2k，AD=3k，AT=5k，
在Rt△ADT中，DT=$\sqrt{A{T}^{2}-D{A}^{2}}$=4k，
∴tanT=$\frac{AD}{DT}$=$\frac{3k}{4k}$=$\frac{3}{4}$，
在Rt△BCT內(nèi)，tanT=$\frac{BC}{CT}$，
∴CT=$\frac{5}{4}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴AC=$\frac{3}{2}$CT=$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△ABC內(nèi)，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵∠FGA=∠AEB=90°，∠D=90°，
∴∠FGA=∠D，
∴FG∥DT，
∴$\frac{BH}{AB}$=$\frac{FT}{AT}$=$\frac{4k}{5k}$，
BH=$\frac{4}{5}$AB=$\frac{4}{5}$×$\frac{5\sqrt{5}}{4}$=$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確求出AB的長是解題關(guān)鍵．