Question

7．如圖，已知四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥CD于F，且EF=$\frac{1}{2}$AB，連接AF，BF，在不添加輔助線和字母情況下，按要求完成下列各題
（1）寫出三個表示線段數(shù)量關(guān)系的等式；
（2）寫出三對相等的角（直角除外）；
（3）寫出兩對相似三角形，并選擇其中一對給予證明．

Answer 1

分析 （1）由中點(diǎn)的定義和已知條件EF=$\frac{1}{2}$AB即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)等邊對等角得出∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，證出∠AFB=90°，由∠EFD=90°，得出∠AFD=∠EFB；
（3）證出∠CBF=∠CFB，∠EFA=∠CFB，得出∠EAF=∠CBF，得出△EAF∽△CBF；同理△ADF∽△BEF．

解答 （1）解：AE=EF，AE=BE，BE=EF；理由如下：
∵E為AB的中點(diǎn)，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=EF，AE=BE，BE=EF；
（2）解：∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，∠AFD=∠EFB；理由如下：
∵AE=EF，BE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，
∵E為AB的中點(diǎn)，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠AFB=90°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD=∠EFC=90°，
∴∠AFD=∠EFB；
（3）解：△EAF∽△CBF；△ADF∽△BEF；理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°=∠EFC，
∵∠EBF=∠EFB，
∴∠CBF=∠CFB，
∵∠AFE=90°，
∴∠EFA=∠CFB，
∴∠EAF=∠CBF，
∴△EAF∽△CBF；
同理：△ADF∽△BEF．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，證明△AFB是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．