Question

20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=2$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 連接AC、EC，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AD∥BC，證明四邊形AFCE是平行四邊形，得出AF=CE，由平行線得出$\frac{AQ}{CQ}=\frac{EQ}{BQ}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，設(shè)AQ=a，EQ=b，則CQ=2a，BQ=2b，證明EG是△ACD的中位線，由三角形中位線定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得得出方程，求出a²=$\frac{11}{3}$，得出BQ²=4b²=$\frac{16}{3}$，b²=$\frac{4}{3}$，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出AF的長(zhǎng)．

解答 解：連接AC、EC，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，
∴AE=CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AQ}{CQ}=\frac{EQ}{BQ}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
設(shè)AQ=a，EQ=b，則CQ=2a，BQ=2b，
∵點(diǎn)E，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，
∴EG是△ACD的中位線，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：AB²-AQ²=BQ²-CQ²，
即9-a²=（2$\sqrt{5}$）²-4a²，
∴3a²=11，
∴a²=$\frac{11}{3}$，
∴BQ²=4b²=（2$\sqrt{\sqrt{5}}$）²-4×$\frac{11}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴b²=$\frac{16}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{4}{3}$，
在Rt△EQC中，CE²=EQ²+CQ²=b²+4a²=16，
∴CE=4，
∴AF=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形中位線定理、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．