Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E，連接OE
（1）證明OE∥AD；
（2）①當(dāng)∠BAC=45°時(shí)，四邊形ODEB是正方形．
     ②當(dāng)∠BAC=30°時(shí)，AD=3DE．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明Rt△ODE≌Rt△OBE得到∠BOE=$\frac{1}{2}$∠DOB，根據(jù)半徑相等得到∠A=$\frac{1}{2}$∠DOB，根據(jù)平行線的判定證明OE∥AD；
（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
②作OF⊥AD于F，根據(jù)垂徑定理和銳角三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算得到答案．

解答 解：（1）連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
在Rt△ODE和Rt△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∵OA=OD，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD；
（2）①當(dāng)四邊形ODEB是正方形時(shí)，BO=BE，
∴∠BOE=45°，
∵OE∥AD，
∴∠BAC=45°；
②當(dāng)∠BAC=30°時(shí)，AD=3DE，
證明：作OF⊥AD于F，
由垂徑定理可知，AF=DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠BAC=30°，
∴∠ODF=∠DOE=30°，
∴OD=$\frac{DF}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，
OD=$\frac{DE}{tan30°}$=$\sqrt{3}$DE，
∴AD=3DE．

點(diǎn)評 本題考查的是切線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的概念，正確找出輔助線、靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)在直角三角形中正確運(yùn)用三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．