Question

2．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結(jié)論：①OA=OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠A=90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE²+DF²=AF²+DE²．上述結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． ②③
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 只要證明△ADE≌△ADF，推出AE=EF，DE=DF，推出AD垂直平分線段EF，即可判定②③正確，利用勾股定理即可判定④正確，①不一定成立故錯誤．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠DAE=∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DAF}\\{∠AED=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，故②正確，
∵∠EAF=90°時，∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四邊形AEDF是正方形，故③正確，
∵AE²+DF²=EO²+AO²+OD²+OF²，
DE²+AF²=OE²+OD²+OA²+OF²，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，故④正確，
∵AD垂直平分EF，EF不一定垂直平分AD，故①錯誤，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查正方形的判定、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．