Question

5．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，若a、b、c是三角形的三條邊長(zhǎng)，c邊上的高CD的長(zhǎng)是h，下列條件中一定能確定△ABC為直角三角形的是①②④．（只要填寫(xiě)正確的序號(hào)）
①∠1=∠A；②c•h=a•b；③∠A=∠2；④a：b：c=3：4：5．

Answer 1

分析 由CD垂直AB于D，由等量代換的知識(shí)，易得由①∠1=∠A，可判定△ABC為直角三角形；由相似三角的判定與性質(zhì)，②c•h=a•b，可判定△ABC為直角三角形，根據(jù)③∠A=∠2只能判斷△ADC是等腰直角三角形；由勾股定理的逆定理，由④a：b：c=3：4：5，可判定△ABC為直角三角形．

解答 解：∵CD⊥AB于D，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠1=∠A，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，故①正確；
∵c•h=a•b，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CD}$，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△BCD，
∴∠ACB=∠CDB=90°，故②正確；
∵CD⊥AB于D，∠A=∠2，
∴∠A=∠2=45°，
但AC≠BC，
∴∠B不一定等于45°，
∴∠ACB不一定等于90°，故③錯(cuò)誤；
∵a：b：c=3：4：5，
∴設(shè)BC的長(zhǎng)為3x，那么AC為4x，AB為5x，由9x²+16x²=25x²，符合勾股定理的逆定理，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查直角三角形的判定及相似三角形的判定方法的運(yùn)用．通過(guò)證明把題目中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．