Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，與y軸相切的⊙P的圓心是（2，a）且（a＞2），
函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為2$\sqrt{3}$，則a的值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作PH⊥y軸于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x軸于E交AB于D，如圖，先根據切線的性質得PH=2，即⊙P的半徑為2，再根據垂徑定理，由PC⊥AB得到BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，接著在Rt△BPC中利用勾股定理可計算出PC=1，由直線y=x為第一、三象限的角平分線得到∠DOE=45°，則∠ODE=45°，DE=OE=2，然后判斷△PCD為等腰直角三角形得到PD=$\sqrt{2}$PC=$\sqrt{2}$，所以PE=PD+DE=2+$\sqrt{2}$，即a=2+$\sqrt{2}$．

解答 解：作PH⊥y軸于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x軸于E交AB于D，如圖，
∵⊙P與y軸相切，
∴PH=2，即⊙P的半徑為2，
∵PC⊥AB，
∴BC=CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△BPC中，PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∵直線y=x為第一、三象限的角平分線，
∴∠DOE=45°，
∴∠ODE=45°，DE=OE=2，
∴∠PDC=45°，
∴PD=$\sqrt{2}$PC=$\sqrt{2}$，
∴PE=PD+DE=2+$\sqrt{2}$．
故選C．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了坐標與圖形性質、勾股定理和垂徑定理．