Question

12．如果一個三角形的三邊a，b，c能滿足a²+b²=nc²（n為正整數(shù)），那么這個三角形叫做“n階三角形”．如三邊分別為1、2、$\sqrt{5}$的三角形滿足1²+2²=1×（$\sqrt{5}}$）²，所以它是1階三角形，但同時也滿足（$\sqrt{5}}$）²+2²=9×1²，所以它也是9階三角形．顯然，等邊三角形是2階三角形，但2階三角形不一定是等邊三角形．

（1）在我們熟知的三角形中，何種三角形一定是3階三角形？
（2）若三邊分別是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一個2階三角形，求a：b：c．
（3）如圖1，直角△ABC是2階三角形，AC＜BC＜AB，三條中線BD、AE、CF所構(gòu)成的三角形是何種三角形？四位同學(xué)作了猜想：
A同學(xué)：是2階三角形但不是直角三角形；
B同學(xué)：是直角三角形但不是2階三角形；
C同學(xué)：既是2階三角形又是直角三角形；  
D同學(xué)：既不是2階三角形也不是直角三角形．
請你判斷哪位同學(xué)猜想正確，并證明你的判斷．
（4）如圖2，矩形OACB中，O為坐標原點，A在y軸上，B在x軸上，C點坐標是（2，1），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與直線AC、直線BC交于點E、D，若△ODE是5階三角形，直接寫出所有可能的k的值．

Answer 1

分析 （1）等腰直角三角形為3階三角形，根據(jù)題中的新定義驗證即可；
（2）根據(jù)題中的新定義列出關(guān)系式，再利用勾股定理列出關(guān)系式，即可確定出a，b，c的比值；
（3）C同學(xué)猜想正確，由直角△ABC是2階三角形，根據(jù)（2）中的結(jié)論得出AC，BC，AB之比，設(shè)出三邊，表示出AE，BD，CF，利用題中的新定義判斷即可；
（4）根據(jù)圖形設(shè)出E與D坐標，利用勾股定理表示出OE²，OD²以及ED²，由△ODE是5階三角形，分類討論列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值

解答 解：（1）等腰直角三角形一定是3階三角形，
理由為：設(shè)等腰直角三角形兩直角邊為a，a，
根據(jù)勾股定理得：斜邊為$\sqrt{2}$a，
則有a²+（$\sqrt{2}$a）²=3a²，即等腰直角三角形一定是3階三角形；
（2）∵△ABC為一個2階直角三角形，
∴c²=a²+b²，且c²+a²=2b²，
兩式聯(lián)立得：2a²+b²=2b²，
整理得：b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，
則a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
（3）C同學(xué)猜想正確，

證明如下：如圖，∵△ABC為2階直角三角形，
∴AC：BC：AB=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，
設(shè)BC=2$\sqrt{2}$，AC=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∵AE，BD，CF是Rt△ABC的三條中線，
∴AE²=6，BD²=9，CF²=3，
∴BD²+CF²=2AE²，AE²+CF²=BD²，
∴BD，AE，CF所構(gòu)成的三角形既是直角三角形，又是2階三角形；
（4）根據(jù)題意設(shè)E（k，1），D（2，$\frac{k}{2}$），
則AE=k，EC=2-k，BD=$\frac{k}{2}$，CD=1-$\frac{k}{2}$，OA=1，OB=2，
根據(jù)勾股定理得：OE²=1+k²，OD²=4+$\frac{{k}^{2}}{4}$，ED²=（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²，
由△ODE是5階三角形，分三種情況考慮：
當(dāng)OE²+OD²=5ED²時，即1+k²+4+$\frac{{k}^{2}}{4}$=5[（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²]，
整理得：k²-5k+4=0，即（k-1）（k-4）=0，
解得：k=1或k=4；
當(dāng)OE²+ED²=5OD²時，（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²+1+k²=5（4+$\frac{{k}^{2}}{4}$），
整理得：k²-5k-14=0，即（k-7）（k+2）=0，
解得：k=7或k=-2（舍去）；
當(dāng)OD²+ED²=5OE²時，4+$\frac{{k}^{2}}{4}$+（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²=5（1+k²），
整理得：7k2+10k-8=0，即（7k-4）（k+2）=0，
解得：k=$\frac{4}{7}$或k=-2（舍去），
綜上，滿足題意k的值為1，4，7，$\frac{4}{7}$．

點評 此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．