Question

20．如圖，直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，對角線OB在x軸正半軸上，點A的坐標(biāo)為（4，4$\sqrt{3}$），點D為AB的中點．動點M從點O出發(fā)沿x軸向點B運動，運動的速度為每秒1個單位，試解答下列問題：
（1）則菱形ABCO的周長為32，菱形ABCO的周長為32，
（2）當(dāng)t=4時，求MA+MD的值；
（3）當(dāng)t取什么值時，使MA+MD的值最��？并求出他的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)與圖形的關(guān)系求出OF，AF的長，根據(jù)勾股定理求出菱形的邊長，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出周長；
（2）根據(jù)直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半求出MD的值，計算得到MA+MD的值；
（3）作點D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接AD′交x軸于點M，作出MA+MD的值最小時的點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的關(guān)系求出AD′的長，得到答案．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（4，4$\sqrt{3}$），
∴OF=4，AF=4$\sqrt{3}$，
由勾股定理得，OA=$\sqrt{O{F}^{2}+A{F}^{2}}$=8，
∴菱形ABCO的周長為32；
（2）當(dāng)t=4時，點M與對角線的交點F重合，則MA=4$\sqrt{3}$，
在Rt△AMB中，AB=8，點D為AB的中點，
∴MD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴MA+MD=4$\sqrt{3}$+4；
（3）作點D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接AD′交x軸于點M，
則此時MA+MD的值最小，
由題意和菱形的性質(zhì)可知，點D的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{3}$），
則D′的坐標(biāo)為（6，-2$\sqrt{3}$），
設(shè)直線AD′的解析式為：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4\sqrt{3}}\\{6k+b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-3\sqrt{3}}\\{b=16\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則直線AD′的解析式為：y=-3$\sqrt{3}$x+16$\sqrt{3}$，
-3$\sqrt{3}$x+16$\sqrt{3}$=0，x=$\frac{16}{3}$，
點M的坐標(biāo)為（$\frac{16}{3}$，0），即OM=$\frac{16}{3}$，
則當(dāng)t=$\frac{16}{3}$時，MA+MD的值最小，
作D′E⊥AC于E，
由菱形的性質(zhì)可知，D′為BC的中點，
∴D′E=2，EF=2$\sqrt{3}$，則AE=6$\sqrt{3}$，
在Rt△AED′中，AE=6$\sqrt{3}$，D′E=2，
AD′=$\sqrt{D′{E}^{2}+A{E}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
則MA+MD的最小值為4$\sqrt{7}$．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、勾股定理和軸對稱-最短路徑問題以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，靈活應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、掌握直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，作出對稱點得到最短路徑是解題的關(guān)鍵．