Question

16．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，△DMN是等邊三角形，連接BD交MN于P，給出下列結(jié)論：①AM=CN；②∠CDN=15°；③BD垂直平分MN；④AM+CN=MN，其中結(jié)論正確的共有（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 通過條件可以得出△ADM≌△CDN，從而得出∠ADM=∠CND，AM=DCN，由正方形的性質(zhì)就可以得出BM=BN，就可以得出BD垂直平分MN，設(shè)MB=x，由勾股定理表示出MN、PB，再通過比較可以得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°．
∵△BMN等邊三角形，
∴DM=DN=MN，∠MDN=60°．
∴∠ADM+∠CDN=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL），
∴AM=CN（故①正確）．
∠BAE=∠DAF，∠ADM=∠CDN
∴∠CDN=15°（故②正確），
∵AB=BC，AM=CN
∴BM=CN，
∵DM=DN=AF，
∴BD垂直平分MN．（故③正確）．
設(shè)BM=x，由勾股定理，得
MN=$\sqrt{2}$x，BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
DP=DMin60°=MNsin60°=2×PMsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
∴AB=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x，
∴AM=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x，
∴AM+CN=$\sqrt{3}$x-x≠$\sqrt{2}$x．（故④錯(cuò)誤）．
故答案為：①②③．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵．