Question

11．如圖①，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠ABD=30°，AD=1．將△BCD沿射線BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'為BD中點(diǎn)，連接AB'，C'D，AD'，BC'，如圖②．
（1）求證：四邊形AB'C'D是菱形；
（2）四邊形ABC'D′的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$；
（3）將四邊形ABC'D'沿它的兩條對(duì)角線剪開(kāi)，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫(xiě)出所有可能拼成的矩形周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，據(jù)此進(jìn)行證明即可；
（2）先判定四邊形ABC'D'是菱形，再根據(jù)邊長(zhǎng)AB=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，即可得到四邊形ABC'D′的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$；
（3）根據(jù)兩種不同的拼法，分別求得可能拼成的矩形周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，
∴AD∥B'C'
∴四邊形AB'C'D是平行四邊形，
∵B'為BD中點(diǎn)，
∴Rt△ABD中，AB'=$\frac{1}{2}$BD=DB'，
又∵∠ADB=60°，
∴△ADB'是等邊三角形，
∴AD=AB'，
∴四邊形AB'C'D是菱形；

（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，
∴AB∥C'D'，
∴四邊形ABC'D'是平行四邊形，
由（1）可得，AC'⊥B'D，
∴四邊形ABC'D'是菱形，
∵AB=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
∴四邊形ABC'D′的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$；

（3）將四邊形ABC'D'沿它的兩條對(duì)角線剪開(kāi)，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形如下：

∴矩形周長(zhǎng)為6+$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．